Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p>0$, sei ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 1$. Das Polynom ${}X^{q}-X$ zerfalle über ${}K$ in Linearfaktoren.

Dann ist

${}M={\left\{x\in K\mid x^{q}=x\right\}}\,$

ein Unterkörper von ${}K$ mit ${}q$ Elementen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen