Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}K\subseteq L$ normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Zu ${}x_{i}$ sei ${}F_{i}\in K[X]$ das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes ${}F_{i}$ in ${}L[X]$ in Linearfaktoren. Daher ist ${}L$ der Zerfällungskörper des Produktes ${}F=F_{1}\cdots F_{n}$.
Es sei nun ${}L=Z(F)$ ein Zerfällungskörper, und sei ${}F=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})$ die Faktorzerlegung zu den Nullstellen ${}\alpha _{i}\in L$, die den Körper ${}L$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Fakt  (4) anwenden. Es sei also ${}L\subseteq M$ eine Körpererweiterung und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Es ist dann

${}F(\varphi (\alpha _{i}))=\varphi (F(\alpha _{i}))=0\,,$

da sich die Koeffizienten von ${}F$ nicht ändern (vergleiche Fakt), und somit gehört ${}\varphi (\alpha _{i})$ zur Nullstellenmenge ${}\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ und damit insbesondere zu ${}L$. Daher gilt generell ${}\varphi (L)\subseteq L$.

Zur bewiesenen Aussage