Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Körpererweiterung ist normal.
2. Wenn ein irreduzibles Polynom ${}P\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}L$ besitzt, so zerfällt es in ${}L[X]$.
3. Es gibt ein ${}K$-Algebraerzeugendensystem ${}x_{i}\in L$, ${}i\in I$, von ${}L$ und über ${}L$ zerfallende Polynome ${}F_{i}\in K[X]$, ${}F_{i}\neq 0$ , ${}i\in I$, mit ${}F_{i}(x_{i})=0$.
4. Für jede Körpererweiterung ${}L\subseteq M$ und jeden ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   ist ${}\varphi (L)\subseteq L$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen