Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt/Beweis

Beweis

. Es sei irreduzibel und . Dann ist nach Fakt das Minimalpolynom zu . Nach (1) gibt es ein über zerfallendes Polynom mit . Da ein Vielfaches von ist, muss auch über zerfallen.
. Zu gehört das Minimalpolynom , das nach Fakt irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über in Linearfaktoren zerfällt.
. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
. Seien und gegeben. Es sei ein Element aus der erzeugenden Familie und sei das zugehörige zerfallende Polynom mit , das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist

daher ist eine Nullstelle des über zerfallenden Polynoms . Das heißt aber, dass ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle , da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
. Es sei irreduzibel und sei mit . Wir können nach Fakt annehmen, dass das Minimalpolynom von ist. Wir setzen und ergänzen dies zu einem endlichen -Algebraerzeugendensystem von , sagen wir

Es seien die Minimalpolynome von über . Wir betrachten das Produkt und den Zerfällungskörper von über , der zugleich der Zerfällungskörper über ist. Es sei eine Nullstelle von . Wir müssen zeigen. Es gibt einen -Isomorphismus

mit . Der Körper ist der Zerfällungskörper von über als auch über . Daher gibt es nach Fakt ein kommutatives Diagramm

mit einem -Isomorphismus . Nach Voraussetzung ist dabei , also ist .