Endliche Körpererweiterung/Spurform/Eigenschaften/Fakt

Zu einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ besitzt die Spurform

$L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$

die folgenden Eigenschaften.

1. Die Spurform ist eine symmetrische Bilinearform.
2. Bei ${}K\subseteq L$ separabel ist die Spurform nichtausgeartet.
3. Zu einer ${}K$-Basis ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ von ${}L$ ist die Diskriminante ${}\triangle (y_{1},\ldots ,y_{n})$ gleich der Determinante der Gramschen Matrix der Spurform bezüglich der Basis.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen