Endliche Körpererweiterung/Spurform/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Bilinearität ergibt sich aus der ${}K$-Linearität der Spur und die Symmetrie aus der Kommutativität der Multiplikation von ${}L$.
2. Sei ${}x\in L$ von ${}0$ verschieden. Im separablen Fall ist die Spurabbildung nicht die Nullabbildung, es gibt also ein ${}y\in L$ mit ${}\operatorname {Spur} {\left(y\right)}\neq 0$. Dann zeigt

   ${}\operatorname {Spur} {\left(x\cdot {\frac {y}{x}}\right)}=\operatorname {Spur} {\left(y\right)}\neq 0\,,$

   dass die Spurform nichtausgeartet ist.

3. Ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen.

Zur bewiesenen Aussage