Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst vom Grad . Nach Fakt ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom und nach Fakt ist das Minimalpolynom gleich . Der Vergleich des konstanten Koeffizienten und des Koeffizienten zu ergibt die Behauptung.

Im Allgemeinen sei

und es sei die Matrix über , die die Multiplikation mit auf bezüglich einer -Basis beschreibt. Zu einer -Basis von ist eine -Basis von , und die Multiplikation mit auf wird durch die Blockmatrix

beschrieben. Deren Spur ist das -Fache der Spur von und deren Determinante ist die -te Potenz der Determinante von . Ebenso treten die verschiedenen komplexen Zahlen jeweils -fach auf.