Wir definieren eine Abbildung
-
durch
-

Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, da die Bilder echt unterhalb von
oder echt oberhalb von
liegen, niemals aber gleich
sind, und da maximal der Nachfolger von
, also
erreicht wird.
Die Abbildung ist injektiv: Wenn
und
beide unterhalb von
liegen, so werden beide Elemente auf sich selbst abgebildet. Wenn beide oberhalb von
liegen, so werden beide auf ihren Nachfolger abgebildet, und das Nachfolgernehmen ist injektiv
(dies ist die Eigenschaft, dass der Vorgänger eindeutig bestimmt ist).
Wenn
unterhalb von
und
oberhalb von
(oder umgekehrt)
liegt, so ist erst recht
oberhalb von
und somit von
verschieden.
Die Abbildung ist auch surjektiv. Die Zahlen echt unterhalb von
werden durch sich selbst erreicht und die Zahlen
echt oberhalb von
(und unterhalb von
einschließlich
)
kann man als
-

mit
oberhalb von
(einschließlich
)
und echt unterhalb von
, also maximal gleich
schreiben. Insgesamt ist
also eine Bijektion.