Es seien die bijektiven Abbildungen
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und
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gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach
Fakt (3)
wieder bijektiv ist, ist auch
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bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung
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vorliegt, dass dann
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ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach . Wenn
ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch
.
Es seien nun nicht , sodass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei der Vorgänger von und der Vorgänger von . Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen
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Dann gibt es nach der Herausnahme von bzw. eine bijektive Abbildung
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Nach
Fakt
gibt es eine bijektive Abbildung zwischen
und .
Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen
und .
Nach Induktionsvoraussetzung ist
,
also auch
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