Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/1/Aufgabe/Kommentar

Hier ist es geschickt, die komplementären Möglichkeiten zu zählen, also die surjektiven Abbildungen, bei denen mindestens ein Element aus ${}N$ sechsfach getroffen wird. Da jedes Element aus ${}N$ zumindest einmal getroffen werden soll, kann jedes Element höchstens siebenmal getroffen werden. Von diesem Extremfall gibt es ${}4\cdot {\binom {10}{7}}\cdot 3!$ Möglichkeiten, man muss sich ja fragen, welches Element von welchen sieben Elementen getroffen wird und wohin die verbleibenden drei Elemente gehen.

Wir müssen also noch die Situation ja verstehen, dass mindestens ein Element sechsmal getroffen wird. In diesem Fall kann auch nur ein Element genau sechsmal getroffen werden, und ein Element muss zweifach getroffen werden. Die Anzahl der Möglichkeiten ergeben sich durch eine ähnliche Überlegung.

Wenn die Zahlen größer werden, so kann man die Möglichkeiten zählen, dass das Element ${}z\in N$

${}a$-fach getroffen wird. Man muss dann aber die Möglichkeit beachten, dass gleichzeitig das Element ${}z$ ${}a$-fach und das Element ${}w$ ${}b$-fach getroffen wird und beides den Vorgaben widerspricht. Dann muss man die Siebformel verwenden, um Mehrfachzählungen zu vermeiden.

Zur kommentierten Aufgabe