Endliche Symmetriegruppe/Halbachsensysteme/Isotropiegruppe/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Zu einer Halbachse ${}H$ von ${}G$ sei

${}G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}\,.$

Dann sind für zwei äquivalente Halbachsen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ die Gruppen ${}G_{H_{1}}$ und ${}G_{H_{2}}$ isomorph.

Insbesondere besitzen sie die gleiche Ordnung.

Beweis

Es sei ${}g(H_{1})=H_{2}$, was es gibt, da die beiden Halbachsen nach Voraussetzung äquivalent sind. Dann hat man aber sofort den Gruppenisomorphismus

$G_{H_{1}}\longrightarrow G_{H_{2}},\,f\longmapsto g\circ f\circ g^{-1}.$

Wegen

${}{\left(gfg^{-1}\right)}(H_{2})=gf{\left(g^{-1}(H_{2})\right)}=gf(H_{1})=g(H_{1})=H_{2}\,$

führt dieser innere Automorphismus von ${}G$ in der Tat die beiden Gruppen ineinander über.

$\Box$

Bei ${}G_{H}$ handelt es sich trivialerweise um eine Untergruppe von ${}G$. Man nennt sie die Isotropiegruppe zur Halbachse ${}H$. Das Lemma besagt also, dass äquivalente Halbachsen isomorphe Isotropiegruppen besitzen. Wenn ${}n={\#\left(G\right)}$ ist und ${}H$ eine Halbachse in der Halbachsenklasse ${}K$, und die Untergruppe ${}G_{H}$ ${}k$ Elemente besitzt, so gibt es in ${}K$ genau ${}n/k$ verschiedene Halbachsen. Die fixierte Halbachse ${}H$ definiert nämlich eine surjektive Abbildung

$G\longrightarrow K,\,f\longmapsto f(H).$

Dabei geht ${}f\in G_{H}$ auf ${}H$, und ebenso gibt es für jede Halbachse ${}H'\in K$ genau ${}k$ Urbilder.