Bei endlich folgt die Aussage sofort aus
Fakt,
wir können also als unendlich annehmen. Es sei
.
Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist
ebenfalls separabel. Es sei also
gegeben und
.
Es sei
eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von und von in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß
Fakt
-Einbettungen
-
Wir betrachten das Polynom
-
das zu gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich ist. Daher besitzt nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da unendlich ist, ein mit . Die Elemente
sind alle verschieden. Aus
für
folgt nämlich
,
und wäre doch eine Nullstelle von . Es gibt also verschiedene Einbettungen von nach und insbesondere ist
,
also ist
.