Bei
endlich folgt die Aussage sofort aus
Fakt,
wir können also
als unendlich annehmen. Es sei
.
Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist
ebenfalls separabel. Es sei also
gegeben und
.
Es sei
eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von
und von
in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß
Fakt
-Einbettungen
-
Wir betrachten das Polynom
-
![{\displaystyle {}P=\prod _{i\neq j}{\left((\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))X+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0477bd064aba78f208e181fdf2d1b4c2521b539)
das zu
gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich
ist. Daher besitzt
nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da
unendlich ist, ein
mit
. Die Elemente
sind alle verschieden. Aus
für
folgt nämlich
,
und
wäre doch eine Nullstelle von
. Es gibt also
verschiedene Einbettungen von
nach
und insbesondere ist
,
also ist
.