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Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt/Beweis
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Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt
Beweis
Zu
f
∈
R
{\displaystyle {}f\in R}
ist
(
ψ
∘
F
e
)
(
f
)
=
ψ
(
f
q
)
=
(
ψ
(
f
)
)
q
=
(
F
e
∘
ψ
)
(
f
)
.
{\displaystyle {}(\psi \circ F^{e})(f)=\psi (f^{q})=(\psi (f))^{q}=(F^{e}\circ \psi )(f)\,.}
Folgt aus (1), da
F
e
{\displaystyle {}F^{e}}
auf
L
{\displaystyle {}L}
injektiv ist.
Folgt aus (1), da
F
e
{\displaystyle {}F^{e}}
auf
K
{\displaystyle {}K}
die Identität ist.
Es sei
g
∈
L
{\displaystyle {}g\in L}
,
g
∉
K
{\displaystyle {}g\notin K}
, und
g
=
ψ
(
f
)
{\displaystyle {}g=\psi (f)}
. Wegen
(
F
e
∘
ψ
)
(
f
)
=
(
(
ψ
(
f
)
)
q
=
g
q
≠
g
=
ψ
(
f
)
{\displaystyle {}(F^{e}\circ \psi )(f)=((\psi (f))^{q}=g^{q}\neq g=\psi (f)\,}
ist
F
e
∘
ψ
≠
ψ
.
{\displaystyle {}F^{e}\circ \psi \neq \psi \,.}
Zur bewiesenen Aussage
