Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Isomorphiesätze/Hälfte ist Quadrat/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb {F} _{q}^{\times }\longrightarrow \mathbb {F} _{q}^{\times },\,x\longmapsto x^{2},$

der Einheitengruppe in sich. Diese schickt ${}1$ auf ${}1$ und wegen ${}(xy)^{2}=x^{2}y^{2}$ handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus. Der Kern dieser Abbildung besteht aus den ${}x\in \mathbb {F} _{q}^{\times }$ mit ${}x^{2}=1$, also aus den Nullstellen des Polynoms ${}X^{2}-1$. Dessen Nullstellen sind gerade ${}1$ und ${}-1$, weitere Nullstellen kann es nicht geben, da die Anzahl der Nullstellen durch den Grad des Polynoms beschränkt ist. Bei ${}1=-1$ wäre

${}2=0$, was aufgrund der Charakteristik ausgeschlossen ist. Also besteht der Kern genau aus zwei Elementen. Nach dem Isomorphiesatz ist das Bild isomorph zum Urbild modulo Kern. Das Bild ist genau die Menge der Quadrate in der Einheitengruppe, und diese ist isomorph zu ${}\mathbb {F} _{q}^{\times }/\{+1,-1\}$. Jede Nebenklasse besitzt daher zwei Elemente und die Anzahl der Nebenklassen ist daher ${}{\frac {q-1}{2}}$. Die Hälfte der Einheiten sind also Quadrate.

Zur gelösten Aufgabe