Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\varphi \colon (\mathbb {Z} /(q-1),+,0)\longrightarrow ({\mathbb {F} }_{q}^{\times },\cdot ,1),\,j\longmapsto g^{j},$

ein Gruppenisomorphismus, den es nach Fakt gibt. Die Potenzierung ${}y\mapsto y^{n}$ rechts entspricht dabei der Multiplikationsabbildung ${}x\mapsto nx$ links, und die ${}n$-ten Einheitswurzeln entsprechen dem Kern der Multiplikationsabbildung mit ${}n$. Die Bedingung ${}nx=0\mod q-1$ bedeutet, dass ${}nx$ in ${}\mathbb {Z}$ ein Vielfaches von ${}q-1$ sein muss. Dies wird genau von den Restklassen der Zahlen ${}i{\frac {q-1}{a}}$, ${}i=0,1,\ldots ,a-1$ erfüllt.

Zur bewiesenen Aussage