Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}a$ der größte gemeinsame Teiler von ${}n$ und ${}q-1$.

Dann gibt es ${}a$ ${}n$-te Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {F} }_{q}$.

Insbesondere gibt es ${}n$ ${}n$-te Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {F} }_{q}$ genau dann, wenn ${}n$ ein Teiler von ${}q-1$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen