Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}I\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\bigcap _{i\in I}{\tilde {E_{i}}}&=F_{1}\times F_{2}\times \cdots \times F_{n}\\\end{aligned}}$

wobei

${}F_{j}=E_{j}\,$

ist, falls ${}j\in I$ ist, und andernfalls

${}F_{j}=M_{j}\,.$

Nach Fakt  (2) ist

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}{\tilde {E_{i}}}\right)}=\prod _{j=1}^{n}P_{j}(F_{j})=\prod _{i\in I}P_{i}(E_{i})=\prod _{i\in I}P({\tilde {E_{i}}})\,,$

was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage