Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Vollständig unabhängig/Hinzunahme/Aufgabe/Lösung

Sei ${}E_{r+1}=\emptyset$ und ${}E_{r+2}=M$ und sei

${}I\subseteq \{1,2,\ldots ,r,r+1,r+2\}\,.$

Wenn in ${}I$ weder ${}{r+1}$ noch ${}{r+2}$ vorkommt, so ist ${}I\subseteq \{1,\ldots ,r\}$ und daher gilt

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P{\left(E_{i}\right)}\,$

aufgrund der Voraussetzung über die vollständige Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie. Wenn ${}r+1\in I$ ist, so taucht darin die leere Menge auf und es ist einerseits

${}\bigcap _{i\in I}E_{i}=\emptyset \,$

mit Wahrscheinlichkeit ${}0$ und andererseits auch

${}\prod _{i\in I}P(E_{i})=0\,.$

Wenn in ${}I$ der Index ${}r+2$ vorkommt, aber nicht ${}r+1$, so ist

${}I=J\cup \{r+2\}\,$

mit ${}J\subseteq \{1,\ldots ,r\}$ und somit

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=P{\left(\bigcap _{i\in J}E_{i}\cap M\right)}=P{\left(\bigcap _{i\in J}E_{i}\right)}=\prod _{i\in J}P(E_{i})=\prod _{i\in J}P(E_{i})\cdot P(M)=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,.$

Zur gelösten Aufgabe