Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe/Kommentar

Dies ist eine Verallgemeinerung von Aufgabe und geht ähnlich. Der Nachweis, dass etwas ein Ring ist, sieht auf den ersten Blick nach viel Arbeit aus, da ja zielmich viele Eigenschaften zu überprüfen sind. Wenn viel Arbeit ansteht sollte man sich immer fragen, ob sich ein Teil davon direkt erledigen lässt oder ob es jemand anders erledigen kann oder ob sie schon erledigt ist. Danach kann man sich dann auf die verbleibende Arbeit konzentrieren. Mathematisch bedeutet dies: sind Teilaufgaben trivial? Gab es Sätze, aus denen ein Teil oder alles folgt? Wurde eine ähnliche Aufgabe oder die im Prinzip gleiche, aber mit anderen Worten formulierte Aufgabe schon bearbeitet?

Wenn man ferner zeigen soll, dass etwas ein Ring, eine Gruppe etc. ist, so muss man zuerst die gegebene Menge und die Verknüpfungen darauf verstehen, wie diese aufgebaut sind. Verknüpfungen werden häufig unter bezug auf grundlegendere Verknüpfungen definiert. Hier startet man ja mit einem beliebigen Vektorraum ${}V$, der seinerseits wieder auf einen Körper Bezug nimmt. Darüber weiß man nichts weiteres, außer dass es eben ein Vektorraum ist.

Die Menge, um die es geht, ist jetzt die Menge ${}\operatorname {End} _{}\,(V)$ aller linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}V$ (die man auch Endomorphismen nennt). Hier kommt die Vorstellung, dass Ringe so etwas wie Zahlbereiche sind, an ihre Grenzen. ${}\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ sind Ringe, es gibt aber eben auch noch ziemlich anders geartete Ringe, deren Elemente nicht „Zahlen“, sondern lineare Abbildungen sind. Zu den Verknüpfungen: Hier wird kurz von der Addition und der Hintereinanderschaltung gesprochen. Es wird also so getan, also ob es klar ist, was die Addition ist. Was soll ${}f+g$ sein? Da ${}f$ und ${}g$ lineare Abbildungen sind, und ${}f+g$ auch eine lineare Abbildung sein soll, muss ${}f+g$ aus jedem Vektor ${}v\in V$ wieder ein Vektor machen, da fällt einem nur

${}(f+g)(v)=f(v)+g(v)\,$

ein. Dies ist wieder linear, das kann man direkt zeigen und war allgemeiner Gegenstand von Aufgabe. Dann ist auch klar, was die ${}0$ ist, nämlich die Nullabbildung, die alles auf ${}0$ schickt, und dass dies mit dieser Addition eine Gruppe bildet. Dies gilt genauso für die Menge aller linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$, wenn ${}W$ ein weiterer Vektorraum ist.

Zur Multiplikation: Nach Fakt ist die Hintereinanderschaltung (das ist die Multiplikation) von Abbildungen assoziativ, was auch schon in Beispiel verwendet wurde, und das neutrale Element ist die Identität, und nach Fakt

ist die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen wieder linear. Somit ist nur noch das Distributivgesetz zu zeigen.

Zur kommentierten Aufgabe