Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Wohldefiniert/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}M$ und ${}N$ die beschreibenden Matrizen von ${}\varphi$ bezüglich zweier Basen. Dann besteht zwischen ihnen die Beziehung

{}M=BNB^{-1}\,

mit der invertierbaren Basiswechselmatrix ${}B$ . Es besteht die Beziehung

{}{\begin{aligned}B(xE_{n}-N)B^{-1}&=B{\left(xE_{n}\right)}B^{-1}-BNB^{-1}\\&=xE_{n}-BNB^{-1}\\&=xE_{n}-M,\end{aligned}}

da die Streckungsmatrizen ${}xE_{n}$ mit jeder Matrix vertauschbar sind. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatz gilt daher

{}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det \left(xE_{n}-M\right)\\&=\det \left(B(xE_{n}-N)B^{-1}\right)\\&=\det \left(B\right)\det \left(xE_{n}-N\right)\det \left(B^{-1}\right)\\&=\det \left(xE_{n}-N\right)\\&=\chi _{N}.\end{aligned}}