Endomorphismus/Endlich/Eigenwert nicht null/Ergänze Basis optimal/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \neq 0$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis ${}v,u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ eine Basis ${}v,w_{2},\ldots ,w_{n}$ gibt mit ${}\langle v,u_{j}\rangle =\langle v,w_{j}\rangle$ und mit

$\varphi (w_{j})\in \langle u_{i},\,i=2,\ldots ,n\rangle$

für alle ${}j=2,\ldots ,n$.

Zeige ebenso, dass dies bei ${}\lambda =0$ nicht möglich ist.

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