Endomorphismus/Invarianter Untervektorraum/Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}U\subseteq V$ ein invarianter Untervektorraum der Dimension ${}k$. Wir wählen eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{k}$ von ${}U$ und ergänzen sie zu einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$. Wegen der Invarianz ist

${}\varphi (v_{i})\in U=\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle \,$

für ${}i\leq k$, also

${}\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{k}a_{ji}v_{j}\,$

für ${}i\leq k$. Daher sind in der beschreibenden Matrix von ${}\varphi$ bezüglich dieser Matrix in den ersten ${}k$ Spalten und den unteren ${}n-k$ Zeilen die Einträge ${}0$.

Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass

${}\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{k}a_{ji}v_{j}\,$

für ${}i\leq k$ gilt. Dies bedeutet, dass

${}U:=\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle \,$

auf sich selbst abgebildet wird, und damit ist ein ${}k$-dimensionaler invarianter Untervektorraum gefunden.

Zur gelösten Aufgabe