Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt/Beweis

Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei ${}v\in V$. Wir können mit einer beliebigen Norm auf ${}V$ und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann ist wegen

${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$

auch ${}\varphi ^{n}(v)$ beschränkt. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

${}v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,$

eine Linearkombination ist, so ist

${}\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,$

und aus der Beschränktheit der beteiligten Folgen ${}\varphi ^{n}(v_{j})$ folgt die Beschränktheit dieser Summenfolge. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar, da über ${}{\mathbb {C} }$ die jordansche Normalform existiert und man die Eigenwerte und die Vielfachheiten aus den Jordan-Blöcken ablesen kann. Von (2) nach (5). Wir können ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ annehmen. Es sei

${}J={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}\,$

ein Jordan-Block der jordanschen Normalform. Bei

${}\vert {\lambda }\vert >1\,$

ergibt sich für einen zugehörigen Eigenvektor ${}v$ wegen

${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert =\vert {\lambda }\vert ^{n}\Vert {v}\Vert \,$

direkt ein Widerspruch zur Beschränktheit. Sei also

${}\vert {\lambda }\vert =1\,$

und sei angenommen, dass der Jordan-Block mindestens die Länge zwei besitzt. Nach Aufgabe ist

${}{\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}+n\lambda ^{n-1}\\\lambda ^{n}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,.$

Dabei ist aber die erste Komponente

${}\lambda ^{n}+n\lambda ^{n-1}=\lambda ^{n-1}(\lambda +n)\,$

nicht beschränkt im Widerspruch zur Voraussetzung.

Für den Schluss von (5) auf (1) können wir die einzelnen Jordan-Blöcke getrennt voneinander analysieren, da die Stabilität nach Aufgabe mit einer Zerlegung in direkte Summanden verträglich ist. Für den ersten Typ folgt die Aussage aus Fakt, für den Typ ${}\lambda$ mit ${}\lambda =1$ ist es klar, da die Norm der Potenzen konstant gleich ${}1$ ist.

Zur bewiesenen Aussage