Endomorphismus/Nilpotent/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

Sei $\varphi$ nilpotenter Endomorphismus. Das heißt $\exists n\in \mathbb {N}$, so dass $\varphi ^{n}=0_{V}$. Sei weiterhin $v\in V$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda \in \mathbb {K}$. Der Beweis der Aussage ist leicht, wenn man die Gleichung $\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v$ benutzt. Diese kann man mit Induktion leicht beweisen. Der Fall $n=1$ (IA) ist trivial. Das ist nämlich nur die Definition des Eigenwerts und Eigenvektors. Möge demnach $\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v$ für ein $n$ gelten (IV). Nun zum Induktionsschritt: $\varphi ^{n+1}(v)=\varphi (\varphi ^{n}(v)){\overset {IV}{=}}\varphi (\lambda ^{n}v)$. Mit der Linearität von $\varphi$ folgt nun: $\varphi (\lambda ^{n}v)=\lambda ^{n}\varphi (v)=\lambda ^{n+1}v$. Damit ist die Gleichung bewiesen. Nun zur eigentlichen Aufgabe. Weil $\varphi$ Nilpotent ist, gilt $0=\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v$. Weil $v$ ein Eigenvektor ist, ist per Definition $v\neq 0$. Demnach muss $\lambda ^{n}=0$ sein. Das impliziert aber $\lambda =0$, was den Beweis abschließt.