Endomorphismus/Norm/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,$

die Norm von ${}\varphi$.

Genauer spricht man von der Supremumsnorm oder der Maximumsnorm. Dies ist in der Tat eine Norm auf dem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$. Sie ist ein Spezialfall der Supremumsnorm von Arbeitsblatt 32, wenn man die Inklusion ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}\subseteq C^{0}({\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =1\right\}},W)$ heranzieht. In dieser Situation kann man statt des Supremums auch das Maximum nehmen, da das Supremum aufgrund der Kompaktheit der Sphäre (bezüglich der gegebenen Norm) ${}S={\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =1\right\}}$ angenommen wird. Diese Norm hängt von den gewählten Normen auf ${}V$ und ${}W$ ab, aufgrund der Ergebnisse der letzten Vorlesung ist allerdings die Topologie auf dem Homomorphismenraum für jede Norm gleich. Eine wichtige Abschätzung ist

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \,$

für alle ${}v\in V$, siehe Aufgabe.

Bei ${}V={\mathbb {K} }^{n}$ und ${}W={\mathbb {K} }^{m}$ erhält man bei fixierten Normen auf diesen Räumen ausgewählte Normen auf dem Matrizenraum

${}\operatorname {Mat} _{m\times n}({\mathbb {K} })=\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left({\mathbb {K} }^{n},{\mathbb {K} }^{m}\right)}\,.$

Wegen

${}\operatorname {Mat} _{m\times n}({\mathbb {K} })={\mathbb {K} }^{nm}\,$

kann man den Matrizenraum auch mit der euklidischen Norm, der Maximumsnorm (bezogen auf die einzelnen Matrixeinträge) und der Summennorm versehen. Es gibt darüber hinaus noch weitere Normen, die Bezug auf die Matrixstruktur nehmen. Es sei die Matrix ${}A=(a_{ij})_{ij}$ gegeben. Man nennt

${\max {\left(\sum _{i=1}^{m}\vert {a_{ij}}\vert ,j=1,\ldots ,n\right)}}$

die Spaltensummennorm und

${\max {\left(\sum _{j=1}^{n}\vert {a_{ij}}\vert ,i=1,\ldots ,m\right)}}$

die Zeilensummennorm. Die Spaltensummennorm ist die Maximumsnorm im Sinne von Definition, wenn man die beiden Räume mit der Summennorm versieht, siehe Aufgabe.