Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor von ${}f$ zum Eigenwert ${}\lambda$ und es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom.

Dann ist

${}(P(f))(v)=P(\lambda )v\,.$

Insbesondere ist ${}v$ ein Eigenvektor von ${}P(f)$ zum Eigenwert ${}P(\lambda )$. Der Vektor ${}v\neq 0$ gehört genau dann zum Kern von ${}P(f)$, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle von ${}P$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen