Endomorphismus/Reell/Zweidimensional invariant/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ annehmen und dass ${}\varphi$ durch die Matrix ${}M$ bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn ${}\varphi$ einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},$

die durch die gleiche Matrix ${}M$ gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert ${}a+b{\mathrm {i} }$ und einen komplexen Eigenvektor ${}v\in {\mathbb {C} }^{n}$. Es ist also

${}Mv=(a+b{\mathrm {i} })v\,.$

Mit

${}v=v_{1}+{\mathrm {i} }v_{2}\,$

und ${}v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ bedeutet dies

${}Mv_{1}+{\mathrm {i} }Mv_{2}=Mv=(a+b{\mathrm {i} }){\left(v_{1}+{\mathrm {i} }v_{2}\right)}=av_{1}-bv_{2}+{\mathrm {i} }(av_{2}+bv_{1})\,.$

Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass ${}Mv_{1},Mv_{2}\in \langle v_{1},v_{2}\rangle$ sind, sodass der Untervektorraum ${}\langle v_{1},v_{2}\rangle$ invariant ist.

Zur bewiesenen Aussage