Euklidische Ebene/Endliche Untergruppe/Eigentlich/Zyklisch/Fakt/Beweis

Beweis

Jedes Element aus ${}G$ ist nach Fakt eine Drehung der Ebene um einen bestimmten Winkel ${}\theta$. Wir betrachten den surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {R} \longrightarrow \operatorname {SO} _{2},\,\theta \longmapsto D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}},$

der einen Winkel auf die zugehörige Drehung abbildet. Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R}$ das Urbild von ${}G$ unter dieser Abbildung, d.h. ${}H$ besteht aus allen Drehwinkeln zu Drehungen, die zu ${}G$ gehören. Die Gruppe ${}H$ wird von einem Repräsentantensystem für die Elemente aus ${}G$ zusammen mit ${}2\pi$ erzeugt. Insbesondere ist also ${}H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von ${}\mathbb {R}$. Da jedes Gruppenelement aus ${}G$ eine endliche Ordnung besitzt, muss jedes ${}\theta \in H$ die Gestalt ${}\theta =2\pi q$ mit einer rationalen Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ haben. Dies bedeutet, dass ${}H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von ${}2\pi \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ ist. Damit ist ${}H$ isomorph zu einer endlich erzeugten Untergruppe der rationalen Zahlen. Nach Aufgabe ist ${}H$ zyklisch, sagen wir ${}H=\mathbb {Z} \alpha$ mit einem eindeutig bestimmten Winkel ${}\alpha \in [0,2\pi )$. Dann ist die Gruppe ${}G$ als Bild von ${}H$ ebenfalls zyklisch.

Zur bewiesenen Aussage