Euklidische Ebene/Uneigentliche Isometrie/Achsenspiegelung/Fakt

Sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine uneigentliche lineare Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Achsenspiegelung

und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}.$

mit einem eindeutig bestimmten Winkel ${}\alpha \in [0,2\pi [$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen