Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 33

Das Kreuzprodukt

Eine Besonderheit im ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist das sogenannte Kreuzprodukt, das zu zwei gegebenen Vektoren einen dazu senkrechten Vektor berechnet.

Definition

Zu einem Körper ${}K$ ist auf dem ${}K^{3}$ durch

${}x\times y={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\,$

eine Verknüpfung erklärt, die das Kreuzprodukt heißt.

Statt Kreuzprodukt sagt man auch Vektorprodukt. Als Merkregel kann man

${}x\times y=\det {\begin{pmatrix}e_{1}&x_{1}&y_{1}\\e_{2}&x_{2}&y_{2}\\e_{3}&x_{3}&y_{3}\end{pmatrix}}\,$

verwenden, wobei ${}e_{1},e_{2},e_{3}$ die Standardvektoren sind und formal nach der ersten Spalte zu entwickeln ist. So wie es dasteht, ist das Kreuzprodukt unter Bezug auf die Standardbasis definiert.

Beispiel

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}5\\8\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ ist

${}{\begin{pmatrix}5\\8\\-2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\cdot 1-4\cdot (-2)\\-5\cdot 1-2\cdot 3\\5\cdot 4-8\cdot 3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16\\-11\\-4\end{pmatrix}}\,.$

Lemma

Das Kreuzprodukt auf dem ${}K^{3}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}x,y,z\in K^{3}$ und ${}a,b\in K$).

1. Es ist

   ${}x\times y=-(y\times x)\,.$

2. Es ist

   ${}(ax+by)\times z=a(x\times z)+b(y\times z)\,$

   und

   ${}z\times (ax+by)=a(z\times x)+b(z\times y)\,.$

3. Es ist

   ${}x\times y=0\,$

   genau dann, wenn ${}x$ und ${}y$ linear abhängig sind.

4. Es ist

   ${}x\times (y\times z)+y\times (z\times x)+z\times (x\times y)=0\,.$

5. Es ist

   ${}\left\langle x\times y,z\right\rangle =\det(x\,,y\,,z)\,,$

   wobei hier mit ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist.

6. Es ist

   ${}\left\langle x,x\times y\right\rangle =0=\left\langle y,x\times y\right\rangle \,,$

   wobei hier mit ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist.

Beweis

(1) ist klar von der Definition her.

(2). Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(a{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\right)}\times {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}ax_{1}+by_{1}\\ax_{2}+by_{2}\\ax_{3}+by_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(ax_{2}+by_{2})z_{3}-(ax_{3}+by_{3})z_{2}\\-(ax_{1}+by_{1})z_{3}+(ax_{3}+by_{3})z_{1}\\(ax_{1}+by_{1})z_{2}-(ax_{2}+by_{2})z_{1}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}ax_{2}z_{3}-ax_{3}z_{2}\\-ax_{1}z_{3}+ax_{3}z_{1}\\ax_{1}z_{2}-ax_{2}z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}by_{2}z_{3}-by_{3}z_{2}\\-by_{1}z_{3}+by_{1}z_{3}\\by_{1}z_{2}-by_{2}z_{1}\end{pmatrix}}\\&=a{\begin{pmatrix}x_{2}z_{3}-x_{3}z_{2}\\-x_{1}z_{3}+x_{3}z_{1}\\x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}\\-y_{1}z_{3}+y_{1}z_{3}\\y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}\end{pmatrix}}\\&=a(x\times z)+b(y\times z).\end{aligned}}$

Die zweite Gleichung folgt daraus und aus (1).

(3). Wenn ${}x$ und ${}y$ linear abhängig sind, so kann man ${}x=cy$ (oder umgekehrt) schreiben. Dann ist

${}{\begin{pmatrix}cy_{1}\\cy_{2}\\cy_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cy_{2}y_{3}-cy_{2}y_{3}\\-cy_{1}y_{3}+cy_{3}y_{1}\\cy_{1}y_{2}-cy_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=0\,.$

Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt ${}0$ ist, so sind alle Einträge des Vektors ${}{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}$ gleich ${}0$. Es sei beispielsweise ${}y_{1}\neq 0$. Wenn ${}x_{1}=0$, so folgt direkt

${}x_{2}=x_{3}=0\,$

und ${}x$ wäre der Nullvektor. Es sei also ${}x_{1}\neq 0$. Dann ist ${}y_{2}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x_{2}$ und ${}y_{3}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x_{3}$ und somit ist

${}y={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x\,.$

(4). Siehe Aufgabe 33.6.

(5). Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle x\times y,z\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=z_{1}x_{2}y_{3}-z_{1}x_{3}y_{2}-z_{2}x_{1}y_{3}+z_{2}x_{3}y_{1}+z_{3}x_{1}y_{2}-z_{3}x_{2}y_{1},\end{aligned}}$

was mit der Determinante wegen der Regel von Sarrus übereinstimmt.

(6) folgt aus (5).

$\Box$

Der uns in (5) begegnende Ausdruck ${}\left\langle x\times y,z\right\rangle$, also die Determinante der drei Vektoren, wenn man diese als Spaltenvektoren auffasst, heißt auch Spatprodukt.

Lemma

Es sei ${}u_{1},u_{2},u_{3}$ eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit

${}\det \left(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\right)=1\,.$

Dann kann man das Kreuzprodukt ${}x\times y$ mit den Koordinaten von ${}x$ und ${}y$ zu dieser Basis (und den Formeln aus Definition 33.1) ausrechnen.

Beweis

Es sei

${}x=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}\,$

und

${}y=d_{1}u_{1}+d_{2}u_{2}+d_{3}u_{3}\,.$

Nach Lemma 33.3  (2) ist

${}x\times y={\left(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}\right)}\times {\left(d_{1}u_{1}+d_{2}u_{2}+d_{3}u_{3}\right)}=\sum _{1\leq i,j\leq 3}c_{i}d_{j}{\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\,.$

Nach Lemma 33.3  (3) ist

${}u_{i}\times u_{i}=0\,$

und nach Lemma 33.3  (1) ist

${}u_{i}\times u_{j}=-u_{j}\times u_{i}\,.$

Nach Lemma 33.3  (6) steht ${}u_{1}\times u_{2}$ senkrecht auf ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$, daher ist

${}u_{1}\times u_{2}=\lambda u_{3}\,$

mit einem ${}\lambda \in \mathbb {R}$, da diese Orthogonalitätsbedingung eine Gerade definiert. Wegen Lemma 33.3  (5) und der Voraussetzung ergibt sich

${}\lambda =\left\langle \lambda u_{3},u_{3}\right\rangle =\left\langle u_{1}\times u_{2},u_{3}\right\rangle =\det \left(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\right)=1\,,$

also ist

${}u_{1}\times u_{2}=u_{3}\,.$

Ebenso ergibt sich, unter Verwendung von Lemma 17.2  (3), ${}u_{1}\times u_{3}=-u_{2}$ und ${}u_{2}\times u_{3}=u_{1}$. Somit ist insgesamt

${}{\begin{aligned}x\times y&=\sum _{1\leq i,j\leq 3}c_{i}d_{j}{\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\\&=\sum _{i<j}(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}){\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\\&=(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})u_{3}-(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})u_{2}+(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})u_{1}\end{aligned}}$

und dies ist die Behauptung.

$\Box$

Isometrien

Definition

Es seien ${}V,W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$ mit Skalarprodukten und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ eine Isometrie, wenn

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Eine Isometrie ist stets injektiv. Bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ spricht man auch von unitären Abbildungen. In Abgrenzung zu affinen Isometrien, spricht man auch von linearen Isometrien.

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$, die mit einem Skalarprodukt versehen seien, und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle ${}u,v\in V$ ist ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$.
3. Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$.
4. Für alle ${}v\in V$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist auch ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.

Beweis

Die Richtungen ${}(1)\Rightarrow (2)$, ${}(2)\Rightarrow (3)$ und ${}(3)\Rightarrow (4)$ sind Einschränkungen. ${}(4)\Rightarrow (3)$. Für den Nullvektor ist die Aussage ${}(3)$ klar, sei also ${}v\neq 0$. Dann besitzt ${}{\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ die Norm ${}1$ und wegen

${}\varphi (v)=\varphi {\left(\Vert {v}\Vert {\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}=\Vert {v}\Vert \varphi {\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}\,$

ist

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert \,.$

${}(3)\Rightarrow (1)$ folgt aus Lemma 31.10.

$\Box$

Eine Isometrie ist also einfach eine abstandserhaltende (lineare) Abbildung. Die Menge der Vektoren mit Norm ${}1$ in einem euklidischen Vektorraum nennt man auch die Sphäre. Eine Isometrie lässt sich also dadurch charakterisieren, dass unter ihr die Sphäre in die Sphäre abgebildet wird.

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 33.16.

$\Box$

Satz

Zu jedem euklidischen Vektorraum ${}V$

gibt es eine bijektive Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,$

wobei ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen sei.

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$

die durch

${}\varphi (e_{i})=u_{i}\,$

festgelegte lineare Abbildung. Nach Lemma 33.7  (3) ist dies eine Isometrie.

$\Box$

Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum

Wir besprechen nun Isometrien von einem euklidischen Vektorraum in sich selbst. Diese sind stets bijektiv. Bezüglich einer jeden Orthonormalbasis von ${}V$ werden sie folgendermaßen beschrieben.

Lemma

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}M$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}\varphi$ eine Isometrie. Dann ist ${}v_{i}=\varphi (u_{i})$ eine Orthonormalbasis nach Lemma 33.7, und deren Koordinaten bezüglich ${}u_{i}$ bilden die Spalten der beschreibenden Matrix ${}M$. Daher ist unter Verwendung von Aufgabe 32.13

${}{v_{i}^{\text{tr}}}v_{j}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$

Als Matrixgleichung bedeutet dies

${}{M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$

Das Argument rückwärts gelesen ergibt die Umkehrung.

$\Box$

Die Menge der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum bildet eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe der Gruppe aller bijektiven linearen Abbildungen. Wir erinnern kurz an die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe.

Zu einem Körper ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren ${}n\times n$- Matrizen mit Einträgen in ${}K$ die allgemeine lineare Gruppe über ${}K$. Sie wird mit ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

Zu einem Körper ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren ${}n\times n$- Matrizen mit

${}\det M=1\,$

die spezielle lineare Gruppe über ${}K$. Sie wird mit ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}E_{n}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}n$. Eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {O} _{n}\!{\left(K\right)}={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid {M^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$

bezeichnet.

Definition

Eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit

${}{{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

heißt unitäre Matrix. Die Menge aller unitären Matrizen heißt unitäre Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {U} _{n}\!={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\mid {{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$

bezeichnet.

Eigenwerte bei Isometrien

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Isometrie.

Dann besitzt jeder Eigenwert von ${}\varphi$ den Betrag ${}1$.

Bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ sind nur die Eigenwerte ${}1$ und ${}-1$ möglich.

Beweis

Es sei ${}\varphi (v)=\lambda v$ mit ${}v\neq 0$, d.h. ${}v$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

Wegen ${}\Vert {v}\Vert \neq 0$ folgt daraus ${}\vert {\lambda }\vert =1$. Im Reellen bedeutet dies ${}\lambda =\pm 1$.

$\Box$

Im Allgemeinen muss eine Isometrie keine Eigenwerte besitzen, bei ungerader Dimension allerdings schon, siehe dazu die nächste Vorlesung.

Lemma

Die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$

ist ${}1$ oder ${}-1$.

Beweis

Nach Lemma 33.9 ist

${}{M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Satz 17.5.

$\Box$

Eigentliche Isometrien

Definition

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ ist.

Bei nichteigentlichen Isometrien, also solchen mit Determinante ${}-1$, spricht man von uneigentlichen Isometrien.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine orthogonale ${}n\times n$- Matrix ${}M$ mit

${}\det M=1\,$

heißt spezielle orthogonale Matrix. Die Menge aller speziellen orthogonalen Matrizen heißt spezielle orthogonale Gruppe, sie wird mit ${}\operatorname {SO} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

Definition

Eine unitäre ${}n\times n$- Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit

${}\det M=1\,$

heißt spezielle unitäre Matrix. Die Menge aller speziellen unitären Matrizen heißt spezielle unitäre Gruppe, sie wird mit ${}\operatorname {SU} _{n}$ bezeichnet.

Fußnoten

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