Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}\varphi$ eine Isometrie. Dann ist ${}v_{i}=\varphi (u_{i})$ eine Orthonormalbasis nach Fakt, und deren Koordinaten bezüglich ${}u_{i}$ bilden die Spalten der beschreibenden Matrix ${}M$. Daher ist unter Verwendung von Aufgabe

${}{v_{i}^{\text{tr}}}v_{j}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$

Als Matrixgleichung bedeutet dies

${}{M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$

Das Argument rückwärts gelesen ergibt die Umkehrung.

Zur bewiesenen Aussage