K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist klar von der Definition her.

(2). Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(a{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\right)}\times {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}ax_{1}+by_{1}\\ax_{2}+by_{2}\\ax_{3}+by_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(ax_{2}+by_{2})z_{3}-(ax_{3}+by_{3})z_{2}\\-(ax_{1}+by_{1})z_{3}+(ax_{3}+by_{3})z_{1}\\(ax_{1}+by_{1})z_{2}-(ax_{2}+by_{2})z_{1}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}ax_{2}z_{3}-ax_{3}z_{2}\\-ax_{1}z_{3}+ax_{3}z_{1}\\ax_{1}z_{2}-ax_{2}z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}by_{2}z_{3}-by_{3}z_{2}\\-by_{1}z_{3}+by_{1}z_{3}\\by_{1}z_{2}-by_{2}z_{1}\end{pmatrix}}\\&=a{\begin{pmatrix}x_{2}z_{3}-x_{3}z_{2}\\-x_{1}z_{3}+x_{3}z_{1}\\x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}\\-y_{1}z_{3}+y_{1}z_{3}\\y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}\end{pmatrix}}\\&=a(x\times z)+b(y\times z).\end{aligned}}$

Die zweite Gleichung folgt daraus und aus (1).

(3). Wenn ${}x$ und ${}y$ linear abhängig sind, so kann man ${}x=cy$ (oder umgekehrt) schreiben. Dann ist

${}{\begin{pmatrix}cy_{1}\\cy_{2}\\cy_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cy_{2}y_{3}-cy_{2}y_{3}\\-cy_{1}y_{3}+cy_{3}y_{1}\\cy_{1}y_{2}-cy_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=0\,.$

Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt ${}0$ ist, so sind alle Einträge des Vektors ${}{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}$ gleich ${}0$. Es sei beispielsweise ${}y_{1}\neq 0$. Wenn ${}x_{1}=0$, so folgt direkt

${}x_{2}=x_{3}=0\,$

und ${}x$ wäre der Nullvektor. Es sei also ${}x_{1}\neq 0$. Dann ist ${}y_{2}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x_{2}$ und ${}y_{3}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x_{3}$ und somit ist

${}y={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x\,.$

(4). Siehe Aufgabe.

(5). Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle x\times y,z\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=z_{1}x_{2}y_{3}-z_{1}x_{3}y_{2}-z_{2}x_{1}y_{3}+z_{2}x_{3}y_{1}+z_{3}x_{1}y_{2}-z_{3}x_{2}y_{1},\end{aligned}}$

was mit der Determinante wegen der Regel von Sarrus übereinstimmt.

(6) folgt aus (5).

Zur bewiesenen Aussage