Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.

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