Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und , , eine Orthonormalbasis von ist, so ist

und somit ist , , eine Orthonormalbasis von . Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von ergänzen.

Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von gibt.

Von (3) nach (1). Es sei , , eine Orthonormalbasis von mit der Eigenschaft, dass

Teil einer Orthonormalbasis von ist. Für zwei beliebige Vektoren und von ist dann

es liegt also eine Isometrie vor.