R^3/Kreuzprodukt/Orientierte Orthonormalbasis/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

{}x=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}\,

und

{}y=d_{1}u_{1}+d_{2}u_{2}+d_{3}u_{3}\,.

Nach Fakt (2) ist

{}x\times y={\left(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}\right)}\times {\left(d_{1}u_{1}+d_{2}u_{2}+d_{3}u_{3}\right)}=\sum _{1\leq i,j\leq 3}c_{i}d_{j}{\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\,.

Nach Fakt (3) ist

{}u_{i}\times u_{i}=0\,

und nach Fakt (1) ist

{}u_{i}\times u_{j}=-u_{j}\times u_{i}\,.

Nach Fakt (6) steht ${}u_{1}\times u_{2}$ senkrecht auf ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$ , daher ist

{}u_{1}\times u_{2}=\lambda u_{3}\,

mit einem ${}\lambda \in \mathbb {R}$ , da diese Orthogonalitätsbedingung eine Gerade definiert. Wegen Fakt (5) und der Voraussetzung ergibt sich

{}\lambda =\left\langle \lambda u_{3},u_{3}\right\rangle =\left\langle u_{1}\times u_{2},u_{3}\right\rangle =\det \left(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\right)=1\,,

also ist

{}u_{1}\times u_{2}=u_{3}\,.

Ebenso ergibt sich, unter Verwendung von Fakt (3), ${}u_{1}\times u_{3}=-u_{2}$ und ${}u_{2}\times u_{3}=u_{1}$ . Somit ist insgesamt

{}{\begin{aligned}x\times y&=\sum _{1\leq i,j\leq 3}c_{i}d_{j}{\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\\&=\sum _{i<j}(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}){\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\\&=(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})u_{3}-(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})u_{2}+(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})u_{1}\end{aligned}}

und dies ist die Behauptung.