Euklidischer Raum/Affine Unterräume/Senkrecht/Fakt

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und seien ${}E_{1}=P_{1}+U_{1}$ und ${}E_{2}=P_{2}+U_{2}$ nichtleere affine Unterräume mit den Untervektorräumen ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$. Es sei

${}P_{1}-P_{2}=u_{1}+u_{2}+u\,$

mit ${}u_{1}\in U_{1}$, ${}u_{2}\in U_{2}$ und ${}u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$.

Dann ist der Abstand ${}d(E_{1},E_{2})$ gleich ${}\Vert {u}\Vert$ und wird in den Punkten ${}P_{1}-u_{1}\in E_{1}$ und ${}P_{2}+u_{2}\in E_{2}$ angenommen.

Insbesondere steht der Verbindungsvektor zu Punkten, in denen der minimale Abstand angenommen wird, sowohl auf ${}E$ als auch auf ${}F$ senkrecht.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen