Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt/Beweis

Beweis

Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ gegeben und sei ${}w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$. Dann ist für jedes ${}j$

${}\left\langle w,u_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =a_{j}=f(u_{j})\,.$

D.h. die beiden linearen Abbildungen ${}v\mapsto \left\langle w,v\right\rangle$ und ${}f$ stimmen auf einer Basis überein, sind also nach Fakt identisch. Für jeden anderen Vektor ${}w'=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor ${}u_{j}$ von ${}f(u_{j})$ verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.

Zur bewiesenen Aussage