Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

${}d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$

der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach Fakt die Eigenschaften einer Metrik. Insbesondere ist im ${}\mathbb {R} ^{n}$ der durch

${}d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,$

gegebene euklidische Abstand eine Metrik.