Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es einen Eigenvektor ${}u$ zum Eigenwert ${}1$. Sei ${}U=\mathbb {R} u$ die davon erzeugte Gerade. Diese ist fix und insbesondere invariant unter ${}\varphi$. Nach Fakt ist dann auch das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ invariant unter ${}\varphi$, d.h. es gibt eine lineare Isometrie

$\varphi _{2}\colon U^{\perp }\longrightarrow U^{\perp },$

die auf ${}U^{\perp }$ mit ${}\varphi$ übereinstimmt. Dabei muss ${}\varphi _{2}$ eigentlich sein, und daher muss nach Fakt ${}\varphi _{2}$ eine Drehung sein. Wählt man einen Vektor der Länge eins aus ${}U$ und dazu eine Orthonormalbasis von ${}U^{\perp }$, so hat ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis die angegebene Gestalt.

Zur bewiesenen Aussage