Die Funktion
-
ist
streng fallend.
Daher ist die Funktion
, die für
mit
(
)
durch
definiert ist, eine
„Majorante“
für
, also
.
Auf jedem Intervall
liefert
eine
obere Treppenfunktion
zu
. Ebenso liefert die durch
bei
definierte Funktion
eine untere Treppenfunktion für
. Daher gelten die Abschätzungen
-

Das Integral in der Mitte besitzt den Wert
. Daraus ergibt sich mit
Fakt
ein neuer Beweis, dass die
harmonische Reihe
divergiert.
Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar, die Darstellung ist überhöht.
Die Differenz zwischen der linken und der rechten Summe ist
. Daher ist die Differenz
-
für jedes
positiv, mit
wachsend und
nach oben beschränkt.
Daher existiert für
der Limes, und dieser Limes ändert sich nicht, wenn man vorne in der Summe bis
aufsummiert anstatt bis
. Wir setzen
-

und nennen sie die eulersche Konstante
(oder Mascheronische Konstante).
Ihr numerischer Wert ist ungefähr
-

Es ist ein offenes mathematisches Problem, ob diese Zahl
rational
ist oder nicht.