Eulersche Konstante/1 durch n/Reihe und Funktion/Beispiel

Die Funktion

$f\colon [1,\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto {\frac {1}{t}},$

ist streng fallend. Daher ist die Funktion ${}g$, die für ${}x$ mit ${}k\leq x<k+1$ (${}k\in \mathbb {N}$) durch ${}{\frac {1}{k}}$ definiert ist, eine „Majorante“ für ${}f$, also ${}g(t)\geq f(t)$. Auf jedem Intervall ${}[1,n]$ liefert ${}g$ eine obere Treppenfunktion zu ${}f$. Ebenso liefert die durch ${}{\frac {1}{k+1}}$ bei ${}k\leq x<k+1$ definierte Funktion ${}h$ eine untere Treppenfunktion für ${}f$. Daher gelten die Abschätzungen

${}\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}\geq \int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}\,dt\geq \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k+1}}\,.$

Das Integral in der Mitte besitzt den Wert ${}\ln n$. Daraus ergibt sich mit Fakt ein neuer Beweis, dass die harmonische Reihe divergiert.

Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar, die Darstellung ist überhöht.

Die Differenz zwischen der linken und der rechten Summe ist ${}1-{\frac {1}{n}}$. Daher ist die Differenz

$\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}-\ln n$

für jedes ${}n$ positiv, mit ${}n$ wachsend und nach oben beschränkt. Daher existiert für ${}n\rightarrow \infty$ der Limes, und dieser Limes ändert sich nicht, wenn man vorne in der Summe bis ${}n$ aufsummiert anstatt bis ${}n-1$. Wir setzen

${}\gamma :=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)}\,$

und nennen sie die eulersche Konstante (oder Mascheronische Konstante). Ihr numerischer Wert ist ungefähr

${}\gamma =0{,}5772156649\dotso \,.$

Es ist ein offenes mathematisches Problem, ob diese Zahl rational ist oder nicht.