Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt/Beweis

Beweis

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von Fakt ist ${}\ln \!'(1)=1$. Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{n}})}{\frac {1}{n}}}=1\,.$

Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als ${}n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette

${}{\begin{aligned}\exp 1&=\exp \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\exp \left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\\&=e.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage