Exponentialfunktion/Diagonale/Abstand/Aufgabe/Lösung


  1. Es ist einfacher, mit dem Quadrat des Abstandes zu arbeiten. Der Abstand im Quadrat zwischen den Punkten und ist

    Dies ist ein quadratisches Polynom in , dessen Koeffizienten von abhängen und dessen Leitkoeffizient positiv ist. Das Minimum dieses Ausdruckes bei vorgegebenem können wir durch ableiten nach bestimmen. Die Ableitung ist

    also liegt bei

    eine Nullstelle der Ableitung vor und dort wird das globale Minimum angenommen. Dort nimmt auch der Abstand das Minimum an, da die Quadratwurzel streng monoton ist.

  2. Zur Bestimmung des Abstandquadrates müssen wir den Wert für in die Formel einsetzen, dies ergibt
  3. Wir müssen das Minimum der Funktion bestimmen. Es ist
    Wegen besitzt diese Ableitung genau eine Nullstelle, nämlich für , also bei . Aus der Faktorzerlegung sieht man auch, dass ein isoliertes Minimum in besitzt. Der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen wird also in und angenommen.
  4. Der Abstand beträgt .