Exponentialfunktion/Kubische Taylorapproximation/Nullstelle/Aufgabe/Lösung

1. ${}x$	${}-2$	${}-1$	${}0$	${}1$	${}2$
   ${}P(x)$	${}-{\frac {1}{3}}$	${}{\frac {1}{3}}$	${}1$	${}{\frac {8}{3}}$	${}{\frac {19}{3}}$

2. Da die Exponentialfunktion ${}e^{x}$ die Reihendarstellung ${}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$ besitzt, handelt es sich bei ${}P$ um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt.
3. Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss ${}P$ eine Nullstelle zwischen ${}-2$ und ${}-1$ besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit

   ${}Q=6P=6+6x+3x^{2}+x^{3}\,.$

   Es ist

   ${}{\begin{aligned}Q(-{\frac {3}{2}})&=6-6\cdot {\frac {3}{2}}+3{\left(-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\left(-{\frac {3}{2}}\right)}^{3}\\&=6-9+{\frac {27}{4}}-{\frac {27}{8}}\\&=-3+{\frac {27}{8}}\\&>0.\end{aligned}}$

   Die Nullstelle muss also zwischen ${}-2$ und ${}-{\frac {3}{2}}$ liegen.

Es ist

${}{\begin{aligned}Q(-{\frac {7}{4}})&=6-6\cdot {\frac {7}{4}}+3{\left(-{\frac {7}{4}}\right)}^{2}+{\left(-{\frac {7}{4}}\right)}^{3}\\&=6-{\frac {21}{2}}+{\frac {3\cdot 49}{16}}-{\frac {343}{64}}\\&=-{\frac {9}{2}}+{\frac {588-343}{64}}\\&=-{\frac {288}{64}}+{\frac {245}{64}}\\&<0.\end{aligned}}$

Also liegt eine Nullstelle im Intervall ${}[-{\frac {7}{4}},-{\frac {3}{2}}]$ der Länge ${}{\frac {1}{4}}$.

Zur gelösten Aufgabe