Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt. Wir setzen

   ${}w:=\log _{a}2\,.$

   Dann ist

   ${}a^{x+w}=a^{x}\cdot a^{w}=a^{x}\cdot a^{\log _{a}2}=a^{x}\cdot 2=2a^{x}\,.$

2. Aus der Bedingung ${}b^{w}=2$ folgt

   ${}b=2^{\frac {1}{w}}\,.$

   Damit ist in der Tat

   ${}{\left(2^{\frac {1}{w}}\right)}^{x+w}=2^{\frac {x+w}{w}}=2^{{\frac {x}{w}}+1}=2^{\frac {x}{w}}\cdot 2=2\cdot {\left(2^{\frac {1}{w}}\right)}^{x}\,.$

3. Wir betrachten die Funktion

   $h\colon [0,1[\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit ${}h(x):=1+x$. Jedes ${}x\in \mathbb {R}$ liegt in einem eindeutigen halboffenen Intervall ${}x\in [n,n+1[$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Wir setzen die Funktion ${}f$ auf ganz ${}\mathbb {R}$ durch die Festlegung

   ${}f(x):=2^{n}h(x-n)\,$

   fort. Dies stimmt für ${}x\in [0,1[$ mit ${}h$ überein, da dort ${}n=0$ ist. Für ${}x\in [n,n+1[$ ist

   ${}f(x+1)=2^{n+1}h(x+1-n-1)=2\cdot 2^{n}h(x-n)=2f(x)\,.$

   Die Funktion ist stetig, was auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Intervallgrenzen wegen (der Funktionslimes ist für ${}x<n$)

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow n}\,f(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow n}\,2^{n-1}h(x-n+1)=2^{n-1}\cdot 2=2^{n}=f(n)\,$

   gilt. Die Funktion ist auch streng monoton wachsend, was ebenfalls auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Übergängen wegen der Stetigkeit gilt. Die Funktion ist keine Exponentialfunktion, da sie auf ${}[0,1[$ linear ist.

Zur gelösten Aufgabe