Es ist
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Um die kritischen Punkte zu finden setzt man diese beiden Funktionen gleich . Das bedeutet
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und
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Es ist also
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und daher gibt es die beiden kritischen Punkte
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Die Hesse-Matrix ist
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In ist dies
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wobei der erste Minor und die Determinante ist. Also liegt nach
Fakt
kein lokales Extremum vor. In ist die Hesse-Matrix
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die Minoren sind und daher ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Minimum vor, das auch ein globales Minimum ist.
Da in ein globales Minimum vorliegt, gilt dies auch für die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch diesen Punkt. Betrachten wir also den Nullpunkt . Eine Gerade durch diesen Punkt wird durch
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mit
, ,
beschrieben. Die eingeschränkte Funktion auf eine solche Gerade ist durch
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gegeben. Die Ableitungen davon sind
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und
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Im Nullpunkt ist dabei
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und
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Bei und liegt längs dieser Geraden ein lokales Minimum vor. Ebenso bei und . Bei und und bei und liegt ein lokales Maximum vor. Bei ist , die beiden ersten Ableitungen sind und die dritte nicht, daher liegt nach
Fakt
kein lokales Extremum vor. Bei und liegt aus dem gleichen Grund kein lokales Extremum vor.