Extrema und Hesse-Form/x+3x^2-2xy-y^2+y^3/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

Die partiellen Ableitungen sind

Zur Berechnung der kritischen Punkte dieser Funktion eliminieren wir und erhalten die Bedingung

die zu

führt. Die kritischen Punkte sind also

Die Hesse-Form ist in einem Punkt gleich

Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir Fakt heran, wobei der erste Minor, also , natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist

was genau bei positiv ist. Dies ist im Punkt der Fall, aber nicht im Punkt . Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt nach Fakt positiv definit und somit besitzt die Funktion im Punkt nach Fakt ein isoliertes lokales Minimum, das zugleich ein globales Minimum ist. In ist die Determinante negativ, so dass dort die Hesse-Form indefinit ist und somit, wiederum nach Fakt, kein Extremum vorliegen kann.