Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe

Es sei

${}S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)}\subseteq R_{15}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\right)}\,,$

wobei ${}Y=X+X^{-1}$ ist.

1. Zeige, dass das Element

   ${}Z={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$

   zu ${}S$ gehört.

2. Schreibe ${}Z$ als polynomialen Ausdruck in ${}Y$.
3. Beschreibe ${}S$ als quadratische Erweiterung von ${}\mathbb {Z} [Z]$.

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