F 2/Projektiver Abschluss/Homogene Gleichungen/Aufgabe

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${}V:=V{\left(X^{2}+Y^{2}+1\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

über dem Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ mit zwei Elementen.

1. Bestimme die Punkte von ${}V$.
2. Bestimme den projektiven Abschluss von ${}V$.
3. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${}X^{2}+Y^{2}+1$ übereinstimmt.

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