Fakultätsfunktion/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich

${}{\begin{aligned}\operatorname {Fak} \,x&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&=-t^{x}e^{-t}|_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\cdot \int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\operatorname {Fak} \,x-1.\end{aligned}}$

(2). Es ist

${}\operatorname {Fak} \,0=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.$

(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
(4). Es ist

${}\operatorname {Fak} \,-{\frac {1}{2}}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.$

Dies ergibt sich mit der Substitution ${}t=s^{2}$ und dem sogenannten Fehlerintegral.

Zur bewiesenen Aussage