Wir arbeiten mit
dem Cauchy-Kriterium.
Es sei die Familie summierbar und sei
vorgegeben. Dann gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für jede endliche Teilmenge , die zu disjunkt ist, die Abschätzung
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gilt. Wegen
ist dann auch die Familie der Real- und der Imaginärteile summierbar.
Wenn umgekehrt diese Familien summierbar sind, so gibt es zu einem vorgegebenen
eine endliche Teilmenge derart, dass für zu disjunkte Teilmengen die Abschätzungen
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gelten. Daraus erhält man
Die Gleichung folgt aus dem großen Umordnungssatz.