Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Real- und Imaginärteil/Aufgabe/Lösung


Wir arbeiten mit dem Cauchy-Kriterium. Es sei die Familie summierbar und sei vorgegeben. Dann gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für jede endliche Teilmenge , die zu disjunkt ist, die Abschätzung

gilt. Wegen

ist dann auch die Familie der Real- und der Imaginärteile summierbar.

Wenn umgekehrt diese Familien summierbar sind, so gibt es zu einem vorgegebenen eine endliche Teilmenge derart, dass für zu disjunkte Teilmengen die Abschätzungen

gelten. Daraus erhält man

Die Gleichung folgt aus dem großen Umordnungssatz.